منبع پایان نامه درباره مدل غیرخطی

به صورت زیر محاسبه نمود:
(‏325)
D_o (x,y^D,y^U;y^D,y^U )
=sup⁡{β:(y^D+βg,y^U+βg)∈P(x)}
〖=sup〗⁡{β:(y^D+βy^D,y^U+βy^U )∈P(x)}
〖=sup〗⁡{β:((“1+” β) y^D,(“1+” β) y^U )∈P(x)}
تساوی آخر بسیار مشابه با تابع فاصله شپارد است، چون مقدار آن کمتر از یک بوده لذا تساوی بالا را میتوان به صورت زیر نوشت:
(‏326)
={β:D_o ((“1+” β) y^D,(“1+” β) y^U )≤”1″ }
={β:(“1+” β) D_o (x , y^D,y^U )≤”1″ }
={β:(“1+” β)≤1⁄(D_o (x , y^D,y^U ) )}
={β:β≤(1⁄(D_o (x , y^D,y^U ) ))-“1” }=(1⁄(D_o (x , y^D,y^U ) ))-“1″
لذا میتوان گفت که تابه فاصله شپارد یک حالت خاص از تابع فاصله جهتی میباشد. در نهایت با استفاده از توضیحات فصل قبل و توضیحات بالا و همچنین نیاز به کم کردن خروجیهای نامطلوب با در نظر گرفتن g_(y^D )=y^D و g_(y^U )=〖-y〗^U، شاخص مالمکوئیستلیونبرگ خروجیمحور به صورت زیر تعریف میشود (چونگ و همکاران، 1995):
(‏327)
M^(t,t+”1” )=(█(((〖1+D〗_o^(P,t) (x^t,y^(D,t),y^(U,t);y^(D,t),〖-y〗^(U,t) )))/((〖1+D〗_o^(P,t) (x^(t+1),y^(D,t+1),y^(U,t+1);y^(D,t+1),-y^(U,t+1) )) ) @×((〖1+D〗_o^(P,t+1) (x^t,y^(D,t),y^(U,t);y^(D,t),〖-y〗^(U,t) )))/((〖1+D〗_o^(P,t+1) (x^(t+1),y^(D,t+1),y^(U,t+1);y^(D,t+1),〖-y〗^(U,t+1) )) ) ))^(“1″ ⁄”2″ )
این شاخص را همانند شاخص مالمکوئیست میتوان به دو بخش تجزیه نمود. که در زیر آورده شده است.
(‏328)
M^(t,t+”1″ )=((〖”1+” D〗_o^(P,t) (x^t,y^(D,t),y^(U,t);y^(D,t),〖-y〗^(U,t) )))/((〖”1+” D〗_o^(P,t+”1″ ) (x^(t+”1″ ),y^(D,t+”1″ ),y^(U,t+”1″ );y^(D,t+”1″ ),〖-y〗^(U,t+”1″ ) )) )×
(█(((〖”1+” D〗_o^(P,t) (x^t,y^(D,t),y^(U,t);y^(D,t),〖-y〗^(U,t) )))/((〖”1+” D〗_o^(P,t+”1″ ) (x^t,y^(D,t),y^(U,t);y^(D,t),〖-y〗^(U,t) )) ) @×((〖”1+” D〗_o^(P,t) (x^(t+”1″ ),y^(D,t+”1″ ),y^(U,t+”1″ );y^(D,t+”1″ ),-y^(U,t+”1″ ) )))/((〖”1+” D〗_o^(P,t+”1″ ) (x^(t+”1″ ),y^(D,t+”1″ ),y^(U,t+”1″ );y^(D,t+”1″ ),〖-y〗^(U,t+”1″ ) )) ) ))^(“1″ ⁄”2″ )
مقالاتی مبتنی بر برطرف نمودن اشکالات مالمکوئیستلیونبرگ آمده است که درصورت تمایل خواننده میتواند با استفاده از منابع آن را پیگیری نماید.
مدلهای شعاعی
این نوع مدل همان‌گونه که از اسم آنها مشخص است به صورت شعاعی به دنبال کاهش ورودی مطلوب و خروجیهای نامطلوب به همراه افزایش ورودیهای نامطلوب و خروجیهای مطلوب هستند. این نوع مدلها را میتوان به چند دسته تقسیم نمود. در ذیل به چند نمونه از آنها اشاره شده است (لیو و همکاران، 2010).
مدل شعاعی بر حسب مدلهای پایهای
این مدلها معمولاً به صورت ورودیمحور یا خروجیمحور در نظر گرفته میشوند؛ و برگرفته از مدلهای پایه‌ای ε-فرم 77BCC و CCR میباشند (لیو و همکاران، 2010). با فرض اینکه خروجی و ورودی نامطلوب موجود باشد و با توجه به مدل CCR میتوان مدل ورودیمحور (3-29) را ارائه داد:
(‏329)
min⁡〖θ-ε(|s^DI |+|s^UO |+|s^DO |)〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=Y_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=〖θX〗_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=Y_o^UO
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0”
“0”≤θ≤”1″
همچنین مدل خروجی محور را به صورت زیر میباشد:
(‏330)
max⁡〖θ+ε(|s^DI |+|s^UI |+|s^DO |)〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=θY_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=X_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=X_o^UI
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
θ≥”1″
با استفاده از مدل (3-30)، θ را محاسبه کرده و با استفاده از تابع هدف θ+”1″ ⁄θ به تحلیل و بررسی واحدهای تحت بررسی میپرداختند. واضح است که مدلهای (3-29) و(3-30) به ترتیب خروجیهای و ورودیها نامطلوب را در نظر نگرفته و در نتیجه مقدار θ به دست آمده، مورد اطمینان نخواهد بود. لذا مدل ورودیمحور (3-31) که ورودیها و خروجیهای نامطلوب را در نظر میگیرد به صورت زیر خواهد بود:
(‏331)
min⁡〖θ-ε(|s^DO |+|s^DI |+|s^UO |+|s^DI |)〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=Y_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=〖θX〗_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=X_o^UI
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=θY_o^UO
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
“0”≤θ≤”1″
مدل (3-31) خروجیهای نامطلوب و ورودیهای مطلوب را کاهش میدهد. به راحتی میتوان مدل خروجیمحور مدلهای (3-30) و (3-31) را ارائه داد، که در اینجا مدل خروجیمحور (3-31) ارائه شده است:
(‏332)
max⁡〖θ+ε(|s^DO |+|s^DI |+|s^UO |+|s^DI |)〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=〖θY〗_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=X_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=〖θX〗_o^UI
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=Y_o^UO
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
θ≥”1″
که مدل (3-32) ورودیهای نامطلوب و خروجیهای مطلوب را افزایش میدهد. حال با ترکیب دو مدل (3-31) و (3-32) مدل مستقل از جهت (3-33) را میتوان به صورت زیر ارائه نمود:
(‏333)
min⁡〖α⁄β-ε(|s^DO |+|s^DI |+|s^UO |+|s^DI |)〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=〖βY〗_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=〖αX〗_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=〖βX〗_o^UI
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=αY_o^UO
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
“0”≤α≤”1″ β≥”1″
این مدل بسیار به مدل78MPPS بنکر شبیه میباشد (بنکر، 1984)، اگر برای DMUای مقدار کارایی این مدل برابر با یک و مقدار متغیرهای کمکی برابر با صفر باشد، آنگاه آن DMU یک واحد کاراست؛ و در بقیه حالتها این واحد ناکارا میباشد.
مثال 3-2) دادههای مثال 2-1 با استفاده از دو مدل (3-32) و (3-33) اجراشده و در جدول (3-2) آورده شده است.
لازم به ذکر است که در این مثال، برای محاسبه مقدار ε از روش ارائه‌شده مقالهی جهانشاهلو و همکاران79 استفاده شده است (محرابیان و همکاران، 1998) که مقدار به دست آمده ε با در نظر گرفتن خروجیهای نامطلوب برابر با 0.002 میباشد.
جدول ‏32: نتایج حاصل از مدلهای بخش 3-3-2
واحد1
واحد2
واحد3
واحد4
واحد5
واحد6
واحد7
واحد8
واحد9
واحد10
3-32
1
1
1.107
1
1.223
1.084
1.257
1.094
1.160
1
3-33
1
1
0.981
1
0.985
0.993
0.796
0.997
0.947
1
مدل شعاعی بر حسب انتقال دادهها
نوع دیگر از مدلهای شعاعی که بر اساس انتقال دادهها طراحی شده است، مدلهایی است که با استفاده از انتقال دادهها در جهت ارزیابی و بهبود واحدها عمل میکنند. سیفورد و ژو در طی مقالهای در سال 2002 این روش را بیان کردهاند، که در سال 2005 مباحثی در رابطه با گسترش این مدل ارائه گردید (سیفورد و ژو، 2002 و 2005).
طبق قرارداد ارائه‌شده در فصل یک، مشخص است n DMU با m ورودی و s خروجی تحت بررسی قرار دارد، لذا میتوان ماتریس اطلاعات را به صورت زیر نشان داد:
P=[■([email protected])]=[■(p_1&…&p_n )]
که دارای m+s سطر و n ستون است. همچنین با وجود خروجیهای نامطلوب میتوان P را به صورت زیر در نظر گرفت:
P=[■([email protected])]=[■(Y^[email protected]^[email protected])]=[■(p_”1″ &…&p_n )]
سیفورد و ژو مدل پایه‌ای خود را BCC در نظر گرفتند (سیفورد و ژو، 2005). آنها با استفاده از مدل غیرخطی فار و همکاران، نشان دادند که مدل فار را میتوان به به صورت مدلی خطی با حفظ محدبی در DEA تبدیل نمود. آنها در ابتدا خروجیهای نامنفی را در (1-) ضرب کرده، سپس بردار انتقال W را طوری انتخاب کرده که تمام خروجیهای منفی (نامطلوب) مثبت شوند، لذا دادهها به صورت زیر میشوند:
P=[■([email protected])]=[■(Y^[email protected] ̅^[email protected])]
که y ̅_j^U= 〖-y〗_j^U+w0 برای تمام خروجیها میباشند. طبق انتقال بالا سیفورد و ژو مدل زیر را ارائه دادند:
(‏334)
max⁡h
s.t
∑_(j=1)^n▒〖λ_j X_j 〗≤X_0
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y_j^D≥hY_0^D 〗
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y ̅_j^U 〗≥hY ̅_0^U
∑_(j=1)^n▒λ_j =1
λ_j≥”0 ” j=1, . . . n
توجه کنید که مدل (3-34) همانند مدل فار خروجیها را افزایش و ورودیها را کاهش میدهد البته در این مدل خروجیهای نامطلوب، همانند مدل فار قرارداد شده است. در واقع این نوع مدل از نوع انتقال یکنواخت کاهشی است ولی با این تفاوت که از یک انتقال یکنواخت کاهشی خطی استفاده شده است. این مدل، مستقل از نوع طبقهبندی میباشد.
قضیه3-1) فرض کنید W بردار انتقال و h^* مقدار بهین مدل (3-34) باشند آنگاه خواهیم داشت:
h^* Y ̅_0^b≤w
اثبات) این قضیه بیان میدارد که در مدل (3-34) همیشه مقدار y_j^Uهای محاسبه‌شده مثبت است و هیچ‌گاه صفر یا منفی نمیشود. فرض میشود قضیه بالا برقرار نباشد یعنی: 〖m=h〗^* Y ̅_0^bw
و از طرفی طبق مدل میتوان نوشت y ̅_j^U= 〖-Y〗_j^U+w.
واضح است که بعد از انتقال و حل مدل جدید مقادیر جدید y_j^Uهای به دست آمده در مقدار بهین تابع ضرب میشوند، با استفاده از توضیحات بالا برای مدل ابتدایی مقدار خروجیهای نامطلوب محاسبه میشود. لذا میتوان نوشت:
m=h^* Y ̅_0^b=〖-Y〗_j^U+w⇒m-w=〖-Y〗_j^U
و در نتیجه ممکن است مقدار خروجیهای نامطلوب منفی شود.
از نظر هندسی، میتوان گفت که یک شکل متقارن از روی مجموعه امکان تولید بروی خودش، با محور تقارن خط عمود بر محور خروجیهای نامطلوب و واحد تحت بررسی که بیش‌ترین خروجی نامطلوب را دارد رسم میشود: (برای 4 واحد تحت بررسی شکل (3-1)، شکل PPS جدید را که این روش ساخته نمایش میدهد)
شکل ‏33: مجموعه امکان تولید ساخته شده با مدل شعاعی سیفورد
لذا میتوان مدل مربوط را به صورت زیر نوشت:
(‏335)
max⁡h
s.t
∑_(j=1)^n▒〖λ_j X_j 〗≤X_0
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y_j^D≥hY_0^D 〗
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y ̅_j^U 〗≥Y ̅_0^U
∑_(j=1)^n▒λ_j =1
λ_j≥”0 ” j=1, . . . n
حال با توجه به مدل (3-35) اگر قید VRS را در نظر گرفته شود، به صورت زیر میتوان نشان داد:
(‏336)
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y ̅_j^U 〗≥Y ̅_0^U⟹∑_(j=1)^n▒〖λ_j ( 〖-Y〗_rj^U+w_r)〗≥Y ̅_0^U=〖-Y〗_ro^U+w_r
و چون داریم ∑_(j=1)^n▒λ_j =1 ، با ساده کردن w_r از طرفین معادله (3-36) ∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y_j^U≤Y_0^U 〗 نتیجه میشود. مدل (3-35) به مدلهایی تبدیل میشود که خروجی و ورودیهای نامطلوب را به ترتیب به عنوان ورودی و خروجیهای مطلوب در نظر میگیرند. اما شرط ∑_(j=1)^n▒λ_j =1 در مدل ε فرم به صورت مدل (3-35) تأثیرگذار نخواهد بود. مدلهای شعاعی این بخش ، همانند مدل فار به صورت شعاعی هستند و به طبع ، مشکلات مدلهای شعاعی را دارا میباشند . این مدل میزان کارایی را نمیدهد و لذا برای رتبهبندی مدل مناسبی نمیباشد. ولی اساسیترین مشکل مدل (3-35) وابسته بودن مقدار بهینهی این مدل به اندازهی بردار w است یعنی با تغییر مقدار w، مقدار بهین این مدل با تغییرات زیادی همراه میشود. برای درک راحتتر مثال 3-3 ارائه شده است.
مثال3-3) دادههای مثال 2-1 برای مدل ارائه‌شده این بخش به کار گرفته‌شده و جواب بهین آن در جدول زیر آورده شده است.
جدول ‏33: نتایج حاصل از مدل شعاعی بر حسب انتقال
واحد1
واحد2
واحد3
واحد4
واحد5
واحد6
واحد7
واحد8
واحد9
واحد10
W +1
1
1
1.0648
1
1.0399
1
1.0811
1.0101
1
1
W+2
1
1
1.0583
1
1.039
1
1.0761
1.0101
1
1
مدلهای بر حسب متغیرهای کمکی
این نوع مدلها همانند مدل جمعی بر حسب مقدار متغیرهای کمکی یا همان slack میباشند. در استفاده از این نوع مدلها مقدار متغیرهای کمکی را محاسبه کرده و اگر DMU ای‌ دارای متغیر کمکی نباشد کاراست، و در غیر اینصورت آن DMU ناکارا محسوب میشود (تون، 2001، کپمن، 1951). ابتدا مدل جمعی را ارائه داده سپس آن را گسترش داده میشود. مدل جمعی برابر است با (کپمن، 1951 و چارنز و

دیدگاهتان را بنویسید