منبع پایان نامه درباره مدل غیرخطی

و همکاران، 1985)
(‏337)
max⁡〖∑_(i=”1″ )^m▒〖w_i s_i^- 〗+∑_r”=1″ ^s▒〖u_r s_r^+ 〗〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j λ_j 〗-s^+=Y_o
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j λ_j 〗+s^-=X_o
λ_j≥”0″ s^+, s^-≥”0″
که در اینجا w_iو u_r وزنهای مثبت، میزان اهمیت ورودیها و خروجیها هستند. با توجه به این مدل در حالتی که ورودی و خروجیهای نامطلوب موجود باشند میتوان مدل (3-37) را به صورت زیر گسترش داد:
(‏338)
max⁡〖w_DI s^DI+w_UI s^UI+w_DO s^DO+w_UO s^UO 〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=Y_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=Y_o^UO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=X_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=X_o^UI
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
واضح است که مدل (3-38) همانند مدل (3-37) ، زمانی کاراست که مقدار بهینهی آن برابر با صفر شود. این مدل نه مستقل از واحد است و نه کارایی را به ما میدهد، به همین دلیل باید به دنبال مدلهای بهتری نسبت به مدل جمعی بود. مدل (3-39) را برای خروجی و ورودیهای مطلوب با مقادیر مثبت در نظر بگیرید:
(‏339)
min⁡ρ=(“1” -“1″ /m ∑_(i=”1” )^m▒(s_i^-)⁄x_iO )/(“1″ +”1″ /s ∑_(r=”1″ )^s▒(s_r^+)⁄y_ro )
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j λ_j 〗-s^+=Y_o
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j λ_j 〗+s^-=X_o
λ_j≥”0″ s^+, s^-≥”0”
مدل (3-39) مستقل از واحد بوده و مقدار کارایی را میدهد، یعنی جوابی بین [1 0] میدهد؛ لذا مدل (3-40) با توجه به مدل (3-39) به صورت مدل زیر ارائه داده میشود (کوپر و همکاران، 2007 و لیو و همکاران، 2010):
(‏340)
min⁡ρ=(“1” -“1” /(|DI|+|UO| ) (∑▒(s_i^DI)⁄(x_io^DI )+∑▒(s_i^UO)⁄(y_io^UO )))/(“1″ +”1″ /(|DO|+|UI| ) (∑▒(s_r^UI)⁄(x_ro^UI )+∑▒(s_r^DO)⁄(y_io^DO )) )
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^DO λ_j 〗-s^DO=Y_o^DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=Y_o^UO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=X_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^UI λ_j 〗-s^UI=X_o^UI
s^DO, s^UO, s^DI, s^UI , λ_j≥”0″
به راحتی میتوان دید که مدل (3-40) مستقل از واحد است و جوابی بین [1 0] میدهد، البته مدل غیرخطی (3-40) را میتوان با یک تغییر ساده به مدل خطی تبدیل نمود. لازم به ذکر است که این مدل مستقل از انتقال نیست.
مثال 3-4) دادههای مثال 2-1 برایSBM به کار گرفته‌شده و جواب بهین آن در جدول زیر آورده شده است.
جدول ‏34: نتایج حاصل از مدل SBM
واحد1
واحد2
واحد3
واحد4
واحد5
واحد6
واحد7
واحد8
واحد9
واحد10
SBM
1
1
0.7863
1
0.6315
0.797
0.6920
0.7725
0.6857
1
مدلهای جهتی
با توجه به مدل فار، مقدار افزایش یا کاهش هر خروجی مطلوب و خروجی نامطلوب با استفاده روشهای غیرخطی باید محاسبه میشد، که این امر باعث افزایش خطا و زمانبر بودن مدت اجرا میشد، لذا فار و شانا با استفاده از تابع جهتی و با ثابت در نظر گرفتن مقدار ورودیها با توجه به اصلهای دسترسیپذیری به دنبال کاهش خروجیهای نامطلوب و افزایش خروجیهای مطلوب بوده‌اند. آن‌ها مدل خود را با توجه به اصل دسترسیپذیر قوی به صورت زیر ارائه دادند (فار و گروسکوپ، 2004):
(‏341)
max⁡θ
s.t
∑_(j=1)^n▒〖λ_j X_j 〗≤X_0
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y_j^D≥Y_0^D+θG^D 〗
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y ̅_j^U 〗≤Y_o^U-θG^U
λ_j≥”0 ” θ≥”0″
که در مدل (3-41) بردارهای G^D و G^U به ترتیب جهتهای افزایش مقدار خروجیهای مطلوب و کاهش مقدار خروجیهای نامطلوب میباشند. پیدا نمودن این جهتها یکی از مشکلات مدلهای جهتی است. آنها در مدل (3-41) جهت را در راستای جهت خروجیهای مطلوب و نامطلوب در نظر گرفتند، یعنی برای هر خروجی مطلوب و نامطلوب جهت بردار G^D=”1″ و مقدار 〖-G〗^U=”1-” انتخاب شد. زمانی واحدی تحت مدل (3-41) کاراست که مقدار ماکسیمم آن برابر با صفر شود، در غیر اینصورت ناکارا میباشد. میتوان با قرار دادن تساوی در قید مربوط به خروجیهای نامطلوب اصل دسترسیپذیر ضعیف را نتیجه گرفت.
(‏342)
max⁡θ
s.t
∑_(j=1)^n▒〖λ_j X_j 〗≤X_0
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y_j^D≥Y_0^D+θG^D 〗
∑_(j=1)^n▒〖λ_j Y ̅_j^U 〗=Y_o^U-θG^U
λ_j≥”0 ” θ≥”0″
با توجه به ساختار مدل و با استفاده از مقدار θ برای خروجیهای مطلوب و مقدار “1” ⁄θ برای خروجیهای نامطلوب و با پذیرش اصل دسترسیپذیر قوی و در نظر نگرفتن بردارهای جهتی، به راحتی مشاهده میشود که مدل (3-41) با مدل (3-9) منطبق است. مدلهای (3-41) و (3-42) مستقل از انتقال نمیباشند؛ همچنین بزرگ‌ترین مشکل مدل (3-41) و (3-42) متفاوت بودن بردار جهتی برای هر واحد تحت بررسی میباشد، یعنی کل PPS را در یک جهت پیش نمیبرد.
مثال 3-5) مثال2-1 برای این دو روش اجراشده و در جدول (3-5) ارائه شده است، جدول (3-5) میزان جابجایی را برای هر واحد نشان میدهد، همچنین واحدهای کارای جدول (3-5) با واحدهای کارای جدول (3-1) –سطر متناظر با مدلهای (3-41) و (3-42) – یکسان است. اما چون برای هر خروجی، یک مقدار میدهد ممکن است در جهت داده‌شده به حرکت درآید اما بعد از برخورد به مرز، هنوز متغیر کمکی در مسئله موجود باشد ؛ لذا میتوان گفت مدلهای (3-41) و (3-42) همچون مدلهای شعاعی عمل میکنند.
جدول ‏35: نتایج حاصل از مدل جهتی
واحد1
واحد2
واحد3
واحد4
واحد5
واحد6
واحد7
واحد8
واحد9
واحد10
1-6
16-10*1
16-10*4
0644
2.081
1.549
1.192
2.021
2.178
مدل راسل
در مدلهای CCR و BCC مشاهده شد که تمام DMUها تحت یک نسبت تغییر مییابند و آن رساندن یک DMU به نزدیکترین مرز مجاور آن میباشد، یا به عبارت دیگر تمام ورودیها و خروجیها را به یک نسبت کاهش یا افزایش میدهند، لذا ممکن است مقادیر DMUای‌ به مرز برسد اما همچنان بتواند بهبود یابد. برای حل این مشکل مدل راسل ارائه شد (فار و لوول، 1978) که مقادیر کمکی را هم در نظر میگرفت، در این مدل برای هر ورودی و خروجی یک مقدار بهین در نظر گرفته سپس بر طبق تابع هدف مسئله ماکسیمم یا مینیمم میگردد. مدل راسل خروجیمحور برابر است با:
(‏343)
max⁡∑_(r=”1″ )^s▒〖θ_r⁄s+ε|s^- | 〗
s.t
∑_(j=1)^n▒〖λ_j x_ij+s^- 〗=x_io i= “1, “…, m
∑_(j=1)^n▒〖λ_j y_rj=θ_r y_ro, r=”1, ” …, s〗
θ_r≥”1 ”
λ_j≥”0 ” s^-≥”0″
با فرض حضور ورودیها و خروجیهای نامطلوب، مدل راسل را میتوان به صورت زیر ارائه نمود:
(‏344)
max⁡∑_(k∈DO∪UI)▒〖θ_k⁄((|DO|+|UI|) )+ε(|s^DI |+|s^UO |) 〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖y_rj^DO λ_j 〗=〖θ_r y〗_ro^DO, r∈DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖Y_j^UO λ_j 〗+s^UO=Y_o^UO
∑_(j=”1″ )^n▒〖X_j^DI λ_j 〗+s^DI=X_o^DI
∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^UI λ_j 〗=〖θ_i x〗_io^UI, i∈UI
〖θ_i , θ〗_r≥”1″
s^UO, s^DI, λ_j≥”0″
به طور مشابه مدل ورودیمحور راسل را میتوان ارائه داد، فقط با این تفاوت که مقدار θ محاسبه‌شده باید بین صفر تا یک باشد. با توجه به توضیحات بالا اندازه افزایش راسل ERM80 را میتوان به صورت زیر نوشت (چن و همکاران81، 2010):
(‏345)
〖min 〗⁡〖h= ((∑_(i∈DO∪UI)▒α_i⁄((|DI|+|UO|) )))⁄((∑_(r∈DO∪UI)▒β_r⁄((|DO|+|UI|) )) )〗
s.t
∑_(j=”1″ )^n▒〖y_rj^DO λ_j 〗=〖β_r y〗_ro^DO, r∈DO
∑_(j=”1″ )^n▒〖x_rj^UI λ_j 〗=〖β_r x〗_ro^UI, r∈UI
∑_(j=”1″ )^n▒〖y_ij^UO λ_j 〗=〖α_i y〗_io^UO, i∈UO
∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗=〖α_i x〗_io^DI, i∈DI
β_r≥”1″
“0≤” α_i≤”1″
λ_j≥”0″
مثال3-6) دادههای مثال 2-1 برای مدل ارائه‌شده این بخش به کار گرفته‌شده و جواب بهین آن در جدول زیر آورده شده است.
جدول ‏36: نتایج حاصل از مدل ERM
واحد1
واحد2
واحد3
واحد4
واحد5
واحد6
واحد7
واحد8
واحد9
واحد10
ERM
1
1
0.7863
1
0.6315
0.797
0.6920
0.7725
0.6857
1
همان طور که مشاهده میشود مدل ERM تمام مقادیر کمکی را پوششی میدهد؛ یعنی این مدل همانند مدل SBM تأثیر مقادیر کمکی را در مقدار کارایی محاسبه میکند همچنین مشاهده میشود که جواب دو مدل باهم برابر است، برای درک راحتتر این موضوع، قضیه زیر ارائه شده است:
قضیه: مدلهای ERM و SBM معادل میباشند (لیو و همکاران، 2010)
اثبات:
ابتدا فرض میشود که مدل SBM شدنی باشد، لذا جواب بهینه ρ^* و مقادیر s_r^(DO*), s_i^(UO*), s_i^(DI*)
, s_r^(UI*) , 〖λ_j〗^*≥”0″ موجود میباشد. حال متغیرهای مدل ERM را میتوان به صورت زیر تعریف کرد:
(α_i ) ̂=(x_io^DI-s_i^(DI*))/(x_io^DI ) i∈DI و (α_i ) ̂=(y_io^UO-s_i^(UO*))/(y_io^UO ) i∈UO
(β_r ) ̂=(x_ro^UI+s_r^(UI*))/(x_ro^UI ) r∈DO و (β_r ) ̂=(y_ro^DO+s_r^(DO*))/(y_ro^DO ) r∈DO
واضح است که ( β_r ) ̂≥”1″ ، “0≤” (α_i ) ̂≤”1″ و همچنین با قرار دادن این تغییر متغیر در قیود بهین مدل SBM خواهیم داشت:
∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗+s_i^(DI*)=x_io^DI⟹∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗+x_io^DI-(α_i ) ̂x_io^DI=x_io^DI⟹∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗=〖α_i x〗_io^DI
به طور مشابه برای تمام قیود میتوان این کار را انجام نمود. طبق مدل بخش (3-4) تابع هدف مدل SBM برابر است با:
min⁡ρ=(“1” -“1” /(|DI|+|UO| ) (∑▒(s_i^DI)⁄(x_io^DI )+∑▒(s_i^UO)⁄(y_io^UO )))/(“1″ +”1” /(|DO|+|UI| ) (∑▒(s_r^UI)⁄(x_ro^UI )+∑▒(s_r^DO)⁄(y_io^DO )) )
و همچنین طبق بخش (3-6) تابع هدف مدل ERM برابر است با:
〖min 〗⁡〖h= ((∑_(i∈DO∪UI)▒α_i⁄((|DI|+|UO|) )))⁄((∑_(r∈DO∪UI)▒β_r⁄((|DO|+|UI|) )) )〗
لذا اگر SBM شدنی باشد با تغییر متغیر بالا مقادیر متغیرهای کمکی SBM برابر است با:
s_i^(DI*)=x_io^DI-(α_i ) ̂x_io^DI s_i^(UO*)= (α_i ) ̂y_io^UO-y_io^UO
s_r^(UI*)=x_ro^UI+(β_r ) ̂x_ro^UI s_r^(DO*)=(β_r ) ̂y_io^DO+y_io^DO
با قرار گرفتن مقادیر بالا صورت کسر تابع هدف بهین مدل SBM به صورت زیر تبدیل خواهد شد:
“1”-“1” /(|DI|+|UO| ) (∑▒(s_i^(DI*))⁄(x_io^DI )+∑▒(s_i^(UO*))⁄(y_io^UO ))=
“1”-“1” /(|DI|+|UO| ) (∑▒((x_io^DI-(α_i ) ̂x_io^DI ))⁄(x_io^DI )+∑▒(((α_i ) ̂y_io^UO-y_io^UO ))⁄(y_io^UO ))=
“1”-“1″ /(|DI|+|UO| ) (∑_(i∈DI)▒(α_i ) ̂ +∑_(i∈DI)▒”1″ +∑_(i∈UO)▒(α_i ) ̂ +∑_(i∈UO)▒”1” )=
“1”-“1+” ∑_(i∈DI∪UO)▒(α_i ) ̂⁄(|DI|+|UO| )=∑_(i∈DI∪UO)▒(α_i ) ̂⁄(|DI|+|UO| )
نشان داده شد که صورت کسر مدل SBM به صورت کسر مدل ERM تبدیل شده است به طور مشابه میتوان ثابت نمود که برای مخرج کسر این دو مدل این تغییر متغیر نیز صادق است. حال با توجه به اینکه جواب بهین مدل SBM یک جواب برای مدل ERM میباشد ، لذا جواب بهین مدل SBM از جواب مدل ERM کوچک‌تر میباشد یعنی: ρ^*≤h^*.
حال فرض میشود مدل ERM شدنی باشد، لذا جواب بهینه h^* به همراه β_r^*≥”1″ و “0≤” α_i^*≤”1″ موجود است، تعریف زیر را برای s_r^DO, s_i^UO, s_i^DI, s_r^UI در نظر میگیریم:
α_i^*=(x_io^DI-s_i^DI)/(x_io^DI ) i∈DI و α_i^*=(y_io^UO-s_i^UO)/(y_io^UO ) i∈UO
β_r^*=(x_ro^UI-s_r^UI)/(x_ro^UI ) r∈DO و β_r^*=(y_ro^DO-s_r^DO)/(y_ro^DO ) r∈DO
با توجه به β_r^*≥”1″ و “0≤” α_i^*≤”1″ ، مقادیر محاسبه‌شده برای s_r^DO, s_i^UO, s_i^DI, s_r^UI نامنفی میباشند کافی است ثابت کنیم که در قیود SBM صدق میکنند. قید مربوط به ورودی مطلوب در حالت بهین را در نظر میگیریم لذا خواهیم داشت:
∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗=〖α_i^* x〗_io^DI⟹∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗=〖(x_io^DI-s_i^DI)/(x_io^DI ) x〗_io^DI⟹∑_(j=”1″ )^n▒〖x_ij^DI λ_j 〗+s_i^(DI*)=x_io^DI
در این حالت ثابت شده است که جواب بهین ERM یکی از جوابهای شدنی برای SBM میباشد با استفاده از روش بالا به راحتی دیده میشود h^*≤ρ^*، و در

دیدگاهتان را بنویسید