حداکثر نمودن سود

m
≤ bm amn … am2 am1
ماخذ: هیزل و نورتون (1986)
افزوده است، اما سایر انواع توابع هدف نیز میتواند وجود داشته باشد. ثانیا محدودیتها، سطر و فعالیتها ستون نامیده میشوند. ثالثا منابع ثابت که مقادیر bi را دربرمیگیرند را سمت راست یا به اختصار RHS مساله مینامند. در این مساله تمام آنها به صورت کوچکتر یا مساوی (≥) نشان داده شدهاند اما میتوانند به صورت بزرگتر یا مساوی (≤) و نیز مساوی (=) باشند.
شرط غیر منفی بودن (رابطه 3-3) در جدول (3-1) قرار داده نشده است. به عبارت دیگر از قرار دادن آن در این جدول صرف نظر شده است.
3-2-2 فرضیههای برنامهریزی خطی
تعدادی از فرضیات در رابطه با ماهیت فرآیند تولید، منابع و فعالیتها به طور ضمنی درون مدل برنامه‏ریزی خطی به صورت خطی به صورت معادلات مشابه با معادله 3-1 تا 3-3 قرار دارند.
1- بهینهسازی: فرض بر این است که یک تابع هدف مناسب حداقل یا حداکثر می شود. در مثال مایالند سود ناخالص حداکثر شده است.
2- ثابت بودن: حداقل یک محدودیت دارای سمت راست غیر صفر است.
3- محدود بودن: فرض میشود که تنها تعداد معدودی فعالیت و محدودیت وجود دارد و بنابراین ممکن است جوابی بهدستآید.
4-غیر تصادفی بودن: فرض میشود که همه ضرایب cj،aij، bi در مدل مقادیری ثابت دارند.
5- پیوستگی: فرض میشود که منابع و محصولات میتوانند به صورت مقادیر اعشاری تولید شده و یا مصرف گردند.
6- همگن بودن: فرض میشود که همه واحدها برای منابع و محدودیتها یکسان است.
7- جمعپذیر بودن: فرض میشود که فعالیتها جمعپذیر باشند بهطوری که زمانی که دو یا تعداد بیشتری از آنها مورد استفاده قرار میگیرند، مجموع تولید آنها حاصل جمع تولید هر یک از آن‏هاست. هیچ نوع اثر تداخلی نیز میان فعالیتها وجود ندارد.
8- نسبی بودن: فرض بر این است که سود ناخالص و نیازها به منابع بدون توجه به سطحی که در آن فعالیت مورد استفاده قرار میگیرد در هر واحد فعالیت ثابت باشد. سود ثابت ناخالص در هر واحد فعالیت بیانگر یک منحنی تقاضای کاملا کششپذیر برای محصول و عرضههای کاملا کششپذیر برای هر نهادهای که ممکن است مورد استفاده قرار گیرد، میباشد. نیازهای منابع ثابت در هر واحد از هر فعالیت معادل فرض وجود یک تابع لئونتیف (که تابعی خطی است که از مبدا میگذرد) میباشد. فرضیات جمعپذیری و نسبی بودن با یکدیگر مفهوم خطی بودن در فعالیتها را میرساند که نام برنامهریزی خطی نیز از همین اصل نشأت میگیرد. همچنین این دو فرض مفهوم منحنیهای هممقدار را میرسانند که بیانگر مفهوم استفاده از یک عامل، در تولید دو محصول میباشد. شاید به شکلی اساسیتر دو ویژگی جمعپذیری و نسبیبودن به یک تابع تولید مزرعه جمعسازی شده منتهی شوند که منابع ثابت b که دارای بازده ثابت نسبت به مقیاس هستند را به مقدار تابع هدف z مرتبط میکند. می‏توان این رابطه کلی را به صورت z=f(b) نوشت و بازده ثابت نسبت به مقیاس نیز به این معنی است که اگر همه منابع ثابت با یک نسبت k زیاد شوند، در این صورت ارزش تابع هدف z نیز به اندازه k زیاد میشود. بهطور مشخصتر و به شکل ریاضی می توان گفت که f(kb)=kf(b)=kz. بنابراین اگر عرضه منابع ثابت توسط یک ضریب و به نسبت k افزایش یابد، در این صورت سطوح بهینه فعالیتها در پاسخ بهینه نیز دو برابر خواهد شد و این در حالی است که ارزش بهینه تابع هدف zهم دو برابر می‏شود. بازده ثابت نسبت به مقیاس اغلب در یک مدل مدل برنامهریزی خطی به کار میرود. یک خاصیت مهم تابع تولید که بیانگر بازده ثابت نسبت به مقیاس است قضیه اولر میباشد. این قضیه نشان میدهد که اگر هر نهاده را بر اساس تولید نهایی آن ارزشگذاری کنیم در آن صورت مجموع نهادهها ضربدر تولید نهایی آنها با تولید کل برابر خواهد بود. این تئوری نشان میدهد که در پاسخ بهینه یک مدل برنامهریزی خطی مجموع حاصلضرب هر bi در ارزش تولید نهایی آن دقیقا ارزش تابع هدف را نشان میدهد. فرضیههای مدل برنامهریزی خطی روشن هستند. خوشبختانه با وجود آنکه لازم است این فرضیات برای تمام سطرها و ستونها در یک مدل در نظر گرفته شود اما در نظر گرفتن آنها در فرآیندهای تولیدی مزرعه الزامی نیست. میتوان بسیاری از روشهای مبتکرانه را با هدف افزایش انعطافپذیری مدل به کار بست بدون اینکه مفروضات مدل خدشهدار شوند. برای مثال میتوان فرض خطی بودن روابط نهادهها و محصولات در تولید یک محصول دامی یا زراعی را مدلسازی کرد. این عمل از طریق داخل نمودن چندین فعالیت بهطور همزمان و به منظور ایجاد یک تخمین خطی قطعهای با هدف مشاهده روابط غیرخطی قابل انجام است. بهعلاوه میتوان فعالیتهایی را به صورت ترکیبی (برای مثال کشت توام لوبیا و ذرت) با هدف رعایت اصل جمعپذیری و ممکنشدن برقراری روابط توام، مکمل و بی تفاوت میان محصولات مختلف در نظر گرفت. فرض ثابت بودن را میتوان از طریق تصریح چند دورهای پویا که از طریق آن رشد مزرعه و تغییر در محدودیتهای منابع در طول زمان ممکن میگردد، رعایت نمود. همچنین روشهایی برای مدلسازی تصادفی ضرایب bi، aij، cj و برای داخل نمودن عرضه نهادههای دارای کشش کمتر توسعه داده شدهاند. با وجود این انعطافپذیری، خاصیت تابع تولید کلی مزرعه z=f(b) نشاندهنده بازده ثابت نسبت به مقیاس خواهد بود. بنابراین قضیه اولر در پاسخ بهینه مدل برنامهریزی خطی رعایت گشته و این خود به اصل مهم دوگانگی منتهی میگردد.
3-2-3 دوگانگی
اگر قصد یک کشاورز حداکثر کردن سود باشد مساله اولیه مطرح شده در روابط 3-1 تا 3-3 میتواند به او کمک کند که تصمیم بگیرد چه محصول یا
محصولاتی را انتخاب کرده و به چه میزان از هر یک تولید کند. افزایش بیشتر در سود ناخالص تنها زمانی ممکن است که کشاورز بتواند واحدهای بیشتری از منابع ثابت را نیز به کار بگیرد. در این صورت سوال مهمی پیش میآید و آن این است که کشاورز چه مقدار باید بپردازد تا بتواند یک واحد اضافی از هر یک از منابع را به کار بگیرد؟ کاملا مشخص است که او از پرداخت مبلغ زیاد پرهیز میکند چرا که در این صورت متضرر خواهد شد. از سوی دیگر ارزشگذاری کمتر از حد واقعی منابع نیز میتواند موجب شود که او منابعش را کمتر از آنچه که میتواند به صورت سودمندانهای به کار گیرد مورد استفاده قرار دهد. اگر برای حداکثر نمودن سود واحدهای اضافی از منابع به کار گرفته شود، در آن صورت باید ارزش اجارهای خاصی برای هر منبع وجود داشته باشد. از دیدگاه تئوریهای اقتصادی میدانیم که این ارزش اجارهای همان ارزش نهایی تولید است. در برنامهریزی خطی این ارزشها را قیمتهای سایهای مینامند.
میتوان یک مدل برنامهریزی خطی را برای یافتن قیمتهای سایهای بهینه نهادههای ثابت طراحی کرد. اگر iλ نشاندهنده قیمتهای سایهای iامین منبع ثابت باشد در این صورت میتوان مسالهای را مشابه با روابط 3-1 تا 3-3 مطرح نمود:
(3-4)